Święcenia kapłańskie i zaraz potem biskupie przyjął mając zaledwie 27 lat życia, w początkach agresywnego ataku reżimu komunistycznego na Kościół w byłej Czechosłowacji, w sytuacji groźby odcięcia kraju przez komunistów od kontaktów ze Stolicą Apostolską.

Nieustannie śledzony, przesłuchiwany i izolowany przez służby bezpieczeństwa, a wreszcie w 1960 r. skazany na 12 lat więzienia „za zdradę ojczyzny”, czytaj: „za tajną współpracę z Watykanem”. W więzieniach przeżył 8 lat. Przed więzieniem i po wyjściu z niego,  aż do upadku reżimu w 1989 r., nie mógł pełnić oficjalnie funkcji duszpasterskich. Aż do świeckiej emerytury pracował jako robotnik.

Zauważany i doceniany już wcześniej przez Pawła VI, a potem przez św. Jana Pawła II, gdy tylko stało się to możliwe, ale dopiero w 1990 r., zostaje biskupem Nitry, a w czerwcu 1991 r. Jan Paweł II wynosi go do godności kardynalskiej. O szczególnych więzach duchowych łączących zmarłego kardynała z Janem Pawłem II mówił dziś w Nitrze metropolita krakowski kard. Stanisław Dziwisz, prowadzący liturgię pogrzebową: „Byłem przez całe lata osobiście – wspominał metropolita krakowski – świadkiem wielkiego wzruszenia u Jana Pawła II wobec postawy i bohaterskich czynów kard. Korca”.

W uroczystościach pogrzebowych  pośród rzeszy kapłanów i wiernych uczestniczyli kardynałowie Jozef Tomko z Watykanu, Joachim Meisner z Niemiec, biskupi z Czech, Austrii, Węgier, Ukrainy i Polski, oczywiście cały episkopat słowacki i liczni przedstawiciele najwyższych władz państwowych z prezydentem Republiki Słowackiej Andrejem Kiską na czele.

„Żegnamy dziś wielkiego człowieka, z którego może być dumny naród słowacki" - mówił kard. Dziwisz. "Żegnamy wiernego syna Kościoła, dla którego Jezus Chrystus był wszystkim. Za Nim poszedł w młodości i Jemu służył do ostatniego tchnienia. Żegnamy odważnego i niezłomnego pasterza, który w mrocznych latach totalitarnego systemu upominał się o prawdę o Bogu i o człowieku.(...) Doczekał się końca reżymu komunistycznego w naszej części Europy Środkowej i Wschodniej, do czego przyłożył również rękę Jan Paweł II. Krakowski metropolita Karol Wojtyła pomagał prześladowanemu Kościołowi w Czechosłowacji. Czynił to samo jako Papież. (...) poprosił go o poprowadzenie ćwiczeń duchownych w Watykanie. Po ich zakończeniu dziękował mu po włosku, ale także po słowacku, ciesząc się szczerze, że te ćwiczenia dla całej Rzymskiej Kurii po raz pierwszy dawał słowacki kardynał. Powiedział wtedy święty Papież: „D’akujem Ti, tak ako všetci tu prítomní, za duchovné úvahy, ktoré si nám sprostredkoval. Osobitne však za svedectvo odvážnej vernosti Kristovi, ktoré si vydal v t'azkých rokoch, po as ktorých si sa vo svojej vlasti stal oporou pre kňazov a laikov”.