Bp Antoni Stankiewicz urodził się 1 października 1935 roku w Oleszczenicach (obecnie Litwa), ale jego rodzina w wyniku działań wojennych i zmiany granic Rzeczypospolitej osiedliła się po II wojnie światowej w Gorzowie Wielkopolskim. Święcenia kapłańskie przyjął po ukończeniu Wyższego Seminarium Duchownego w Gościkowie-Paradyżu 20 grudnia 1958 roku w katedrze gorzowskiej z rąk Sługi Bożego bpa Wilhelma Pluty. Następnie studiował prawo kanoniczne na Wydziale Prawa Kanonicznego Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie (w roku akademickim 1956/57) oraz na Wydziale Prawa Kanonicznego Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego (w latach 1957-1961).

W latach 1961-1965 pełnił urząd notariusza i wiceoficjała Sądu Kościelnego w Gorzowie, a w latach 1965-67 notariusza Kurii Biskupiej w Gorzowie.

W roku 1967 został skierowany na kontynuację studiów kanonistycznych w Rzymie. W roku 1970 uzyskał tytuł adwokata Roty Rzymskiej, w roku 1972 – dyplom z języka łacińskiego na Papieskim Uniwersytecie Gregoriańskim (Scuola Superiore di Lettere Latine), a w roku 1975 – stopień doktora prawa cywilnego w zakresie prawa rzymskiego na Wydziale Prawa Cywilnego Papieskiego Uniwersytetu Laterańskiego, na podstawie rozprawy pod tytułem „De homicidio in iure poenali romano”.

W roku 1969 ks. Antoni Stankiewicz rozpoczął pracę w Trybunale Roty Rzymskiej, początkowo w latach 1969-78 w kancelarii Trybunału, a z dniem 14 lutego 1978 roku papież Paweł VI mianował go prałatem audytorem Roty. W okresie od 31 stycznia 2004 roku do 22 września 2012 roku był dziekanem tegoż Trybunału. W tym czasie papież Benedykt XVI 15 listopada 2006 roku mianował go biskupem tytularnym Nova Petra. Święcenia biskupie przyjął w Bazylice św. Piotra 16 grudnia tego samego roku.

Jako audytor Trybunału Roty Rzymskiej w latach 1978-2012 wydał ponad 260 wyroków i ponad 125 dekretów w sprawach procesowych, a jako dziekan ponad 50 dekretów (publikowanych) dotyczących kwestii kompetencji Trybunału.

Od 1984 roku był konsultorem Kongregacji do Spraw Duchowieństwa, od 1988 roku członkiem Komisji dla Adwokatów, a od 2000 roku sędzią w Trybunale Apelacyjnym Państwa Watykańskiego. W latach 1995-2000 był przewodniczącym Komisji Dyscyplinarnej Państwa Watykańskiego. Od 20 lipca 2010 roku był członkiem Kongregacji Spraw Kanonizacyjnych, a od 1 grudnia 2012 roku – członkiem Najwyższego Trybunału Sygnatury Apostolskiej.

28 maja 2007 roku został odznaczony godnością doktora honoris causa Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie.